Exercise:
abclist abc Bestimme den Parameterwert u und die zweite Lösung. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item x^ + x + u x_ item ux^ + x - x_ . enumerate nprvmulticols abc Gibt es eine von verschiedene Zahl x für die der Term x-x^ denselben Wert hat wie für x? abc Gibt es eine von - verschiedene Zahl x für die der Term x^ + x denselben Wert hat wie für x-? abc Bestimme die Lösungen und v so dass sich die Lösungen um unterscheiden. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item x^ -x + v item x^ + vx + item vx^ + vx - enumerate nprvmulticols abc In der Gleichung x^-x + c sind die Lösungen und c so zu bestimmen dass eine Lösung gleich dem Quadrat der anderen ist. abc x_ und x_ sind die Lösungen der Gleichung x^ + px + q . Drücke den angegebenen Term durch p und q aus. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item x_^+x_x_+x_^ item x_^+x_^ item x_^+x_^ enumerate nprvmulticols abc x_ und x_ erfüllen die Gleichung ax^ + bx + c . Drücke den angegebenen Term durch a b und c aus. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item dfracx_ + dfracx_ item dfracx_x_ + dfracx_x_ item qtyx_ + dfracx_qtyx_ + dfracx_ enumerate nprvmulticols abclist

Solution:
abclist abc enumeratelabelroman*. item Nach dem Satz von Vieta gilt x_ + x_ -fracba. Setzen wir das Bekannte ein können wir nach x_ auflösen: + x_ - implies x_ -. Für u erhalten wir dann wieder mit Vieta u x_ x_ -. item Nach dem Satz von Vieta gilt x_x_ fracca. Setzen wir das Bekannte ein können wir nach x_ auflösen: . x_ -fracu implies x_ -fracu. Für u erhalten wir dann die Gleichung -. + fracu  fracu implies u -. Damit ist x_ frac .. enumerate abc Setzen wir x in diesen Term ein erhalten wir als Ergebnis - . Die Frage ist deshalb ob die Gleichung x^-x+ noch eine weitere Lösung hat. Mit dem Satz von Vieta wissen wir dass + x_ implies x_ gelten muss. abc Setzen wir x- in den Term ein erhalten wir als Ergebnis - . Die Frage ist deshalb ob die Gleichung x^+x - noch eine weitere Lösung hat. Mit dem Satz von Vieta wissen wir dass - + x_ -frac implies x_ frac gelten muss. abc Wenn sich die Lösungen um unterscheiden gilt stets x_-x_ oder x_ x_ + . Der Satz von Vieta wird dann zu x_ + -fracba quad x_^ + x_ fracca. enumeratelabelroman*. item Bekannt sind a und b-. Daraus folgt sofort x_ + implies x_ frac implies x_ frac. Für v erhalten wir deshalb v x_ x_ frac. item Bekannt sind a und c. Daraus folgt sofort x_^ + x_ implies x_ - x_  implies x_  - x_  . Für v erhalten wir deshalb im einen Fall v_ -x_ - x_  und im anderen Fall v_ -x_ - x_  -. item Bekannt ist fracba  . Daraus folgt sofort x_ + - implies x_ - implies x_ . Für v erhalten wir deshalb - -fracv implies v frac. enumerate abc Wenn die eine Lösung gleich dem Quadrat der anderen ist gilt x_ x_^. Mit dem Satz von Vieta folgt x_ + x_ x_ + x_^ frac implies x_ -frac x_ frac implies x_ frac x_  frac. Für c erhalten wir im einen Fall fracc_  -frac implies c_ -frac und im anderen Fall fracc_  frac implies c_ frac. abc Der Satz von Vieta gibt uns p -x_-x_ quad q x_x_. Wir müssen also an den gegebenen Gleichungen so herumbasteln dass wir x_ und x_ entweder gemeinsam als Summe oder als Produkt vorfinden. enumeratelabelroman*. item Wir stellen das Polynom so um dass wir die binomischen Formeln rückwärts anwen können: * x_^ + x_x_ + x_^ x_^ + x_x_ + x_^ - x_x_ x_+x_^ - x_x_ p^ - q * item Wir gehen ähnlich vor: * x_^ + x_^ x_^ + x_x_ + x_^ - x_x_ x_+x_^ - x_x_ p^ -q * item Hier erinnern wir uns an das Pascal'sche Dreieck das uns x_+x_^ x_^ + x_^x_ + x_ x_^ + x_^ gibt. Damit erhalten wir * x_^ + x_^ x_^ + x_^x_ nonumber &qquad+ x_ x_^ + x_^ - x_^x_ - x_ x_^ x_+x_^ - x_x_x_+x_ -p^ + pq * enumerate abc Der Satz von Vieta gibt uns fracba -x_-x_ quad fracca x_x_. Wir müssen also an den gegebenen Gleichungen so herumbasteln dass wir x_ und x_ entweder gemeinsam als Summe oder als Produkt vorfinden. enumeratelabelroman*. item Wir bringen den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner und setzen ein: * fracx_ + fracx_  fracx_+x_x_x_ frac-b/ac/a  -fracbc * item Wir gehen ähnlich vor ergänzen dann aber im Zähler so dass wir ihn zerlegen können: * fracx_x_ + fracx_x_ fracx_^ + x_^x_x_ fracx_^ + x_x_ + x_^ - x_x_x_x_ fracx_+x_^ - x_x_x_x_ fracb^/a^ - c/ac/a fracb^ac - * item Wir multiplizieren aus und können recht schnell einsetzen: * qtyx_ + fracx_qtyx_ + fracx_ x_x_ + fracx_x_ + fracca + fracac + * enumerate abclist