Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
abclist abc Berechne die Schnittpunkte von Bild und Original wenn der Graph von fx x^ nprvmulticols enumeratelabelroman*. item um den Vektor mqty & ^rm T verschoben wird item am Punkt gespiegelt wird. enumerate nprvmulticols abc Berechne die Schnittpunkte Graphen von fx frac x^ mit dem Graphen von gx x+q. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item q item q item q- item q- enumerate nprvmulticols abc In welchen Punkten schneidet der Graph von fx x^ -x + den Graphen von gx mx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item m item m item m- item m- enumerate nprvmulticols abc Bestimme den Wert des Parameters so dass der Graph von fx x^ und der Graph der angegebenen Funktion gx genau einen Punkt gemeinsam haben. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item gx x + q item gx mx- item gx mx- enumerate nprvmulticols abc Der Graph von gx soll eine Tangente des Graphen von fx sein. Bestimme den Parameter. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx mx^ + x + m gx mx item fx qx^ + qx + gx x + q enumerate nprvmulticols abc Für welchen Wert von q ist der Graph von gx q eine Tangente des Graphen von fx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx x^ + x + item fx -x^+x+ item fx ax^ + bx + c aneq enumerate nprvmulticols abclist
Solution:
NewDocumentCommandlSo IfNoValueTF# _rm S _rm S# abclist abc enumeratelabelroman*. item Wir bestimmen zunächst die Funktionsgleichung tilde fx der Bildfunktion: al tilde fx fx- + x-^ + . Diese setzen wir mit der Originalfunktion fx gleich und lösen nach der x-Koordinate des Schnittpunkts xlS auf: alfxlS &mustbe tilde fxlS xlS^ xlS^-xlS + uf -xlS^ + xlS xlS uf : xlS . Wir setzen den erhaltenen Wert fx ein um die y-Koordinate des Schnittpunkts ylS zu erhalten: alylS xlS^ .. Der Schnittpunkt ist damit S... item Bildfunktion: al tilde fx - f-x - -x^ - + x -x^ -x^ + x - Gleichsetzen und auflösen: alfxlS &mustbe tilde fxlS xlS^ -xlS^ + xlS- uf -xlS^ -xlS^ + xlS - mf xlS frac- pm sqrt-- mp sqrt ylS mp sqrt^ mp sqrt Die Schnittpunkte sind damit S_-sqrt-sqrt und S_ + sqrt+sqrt. enumerate abc Wir setzen die beiden Funktionsgleichungen gleich und lösen nach xlS auf: alfxlS &mustbe gxlS fracxlS^ xlS + q uf -xlS -q fracxlS^ - xlS -q mf xlS frac pm sqrt+qfrac pm sqrt+q Eingesetzt in gx erhalten wir für ylS: al ylS gxlS pm sqrt+q + q Nun können wir die einzelnen q-Werte einsetzen und die Schnittpunkte ablesen. enumeratelabelroman*. item S_ S_- item S_+sqrt + sqrt S_-sqrt -sqrt item S item keinen Schnittpunkt enumerate abc Wir setzen wieder gleich und lösen auf: al fxlS &mustbe gxlS xlS^-xlS + mxlS uf -mxlS xlS^ -+mxlS + mf xlS frac+m pm sqrt+m^ - enumeratelabelroman*. item S item S_ S_ item S_- S_- item S- enumerate abc Wir setzen jeweils die Funktionen gleich lösen mit der Mitternachtsformel auf und bestimmen den Parameter so dass die Diskriminante Term unter der Wurzel verschwindet. enumeratelabelroman*. item al fxlS &mustbe gxlS xlS^ xlS + q uf -xlS-q xlS^ -xlS -q mf xlS frac pm sqrt+q Die Diskriminante verschwindet für q -frac. item al fxlS &mustbe gxlS xlS^ mxlS - uf -mxlS + xlS^ -mxlS + mf xlS fracm pm sqrtm^- Die Diskriminante verschwindet für m_pm . item alfxlS &mustbe gxlS xlS^ mxlS - m uf -mxlS + m xlS^ -mxlS +m mf xlS fracm pm sqrtm^ - m Die Diskriminante verschwindet für m_ und m_ . enumerate abc Das Vorgehen ist gleich wie bei der vorherigen Teilaufgabe da die Tangente per Definition genau einen Berührungspunkt mit der Parabel hat. enumeratelabelroman*. item al fxlS &mustbe gxlS mxlS^ + xlS + m mxlS uf -mxlS mxlS^ + -mxlS + m mf xlS frac--m pm sqrt-m^ -m^m frac--m pm sqrt-m^ - m + m m_ frac pm sqrt+- frac-mp Die Diskriminante verschwindet für m_ - und m_ frac. item al fxlS &mustbe gxlS qxlS^ + qxlS + xlS + q uf - xlS -q qxlS^ + q-xlS + -q mf xlS dots pm sqrtq-^ - q-q dots pm sqrtq^ - q + -q + q^ dots pm sqrtq^ - q + q_ frac pm sqrt- fracpm Die Diskriminante verschwindet für q_ frac und q_ . enumerate abc enumeratelabelroman*. item alfxlS &mustbe gxlS xlS^ + xlS + q uf -q xlS^ + xlS + -q mf xlS dots pm sqrt--q dots pm sqrtq+ Die Diskriminante verschwindet für q-. item al fxlS &mustbe gxlS -xlS^+xlS+ q uf -q -xlS^ + xlS + -q xlS dots pm sqrt+-q dots pm sqrt-q Die Diskriminante verschwindet für qfrac. item alfxlS &mustbe gxlS axlS^ + bxlS + c -q mf xlS dots pm sqrtb^ -ac-q b^ -ac + aq uf -b^ + ac -b^ +ac aq uf :a -fracb^a + c q enumerate abclist
abclist abc Berechne die Schnittpunkte von Bild und Original wenn der Graph von fx x^ nprvmulticols enumeratelabelroman*. item um den Vektor mqty & ^rm T verschoben wird item am Punkt gespiegelt wird. enumerate nprvmulticols abc Berechne die Schnittpunkte Graphen von fx frac x^ mit dem Graphen von gx x+q. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item q item q item q- item q- enumerate nprvmulticols abc In welchen Punkten schneidet der Graph von fx x^ -x + den Graphen von gx mx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item m item m item m- item m- enumerate nprvmulticols abc Bestimme den Wert des Parameters so dass der Graph von fx x^ und der Graph der angegebenen Funktion gx genau einen Punkt gemeinsam haben. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item gx x + q item gx mx- item gx mx- enumerate nprvmulticols abc Der Graph von gx soll eine Tangente des Graphen von fx sein. Bestimme den Parameter. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx mx^ + x + m gx mx item fx qx^ + qx + gx x + q enumerate nprvmulticols abc Für welchen Wert von q ist der Graph von gx q eine Tangente des Graphen von fx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx x^ + x + item fx -x^+x+ item fx ax^ + bx + c aneq enumerate nprvmulticols abclist
Solution:
NewDocumentCommandlSo IfNoValueTF# _rm S _rm S# abclist abc enumeratelabelroman*. item Wir bestimmen zunächst die Funktionsgleichung tilde fx der Bildfunktion: al tilde fx fx- + x-^ + . Diese setzen wir mit der Originalfunktion fx gleich und lösen nach der x-Koordinate des Schnittpunkts xlS auf: alfxlS &mustbe tilde fxlS xlS^ xlS^-xlS + uf -xlS^ + xlS xlS uf : xlS . Wir setzen den erhaltenen Wert fx ein um die y-Koordinate des Schnittpunkts ylS zu erhalten: alylS xlS^ .. Der Schnittpunkt ist damit S... item Bildfunktion: al tilde fx - f-x - -x^ - + x -x^ -x^ + x - Gleichsetzen und auflösen: alfxlS &mustbe tilde fxlS xlS^ -xlS^ + xlS- uf -xlS^ -xlS^ + xlS - mf xlS frac- pm sqrt-- mp sqrt ylS mp sqrt^ mp sqrt Die Schnittpunkte sind damit S_-sqrt-sqrt und S_ + sqrt+sqrt. enumerate abc Wir setzen die beiden Funktionsgleichungen gleich und lösen nach xlS auf: alfxlS &mustbe gxlS fracxlS^ xlS + q uf -xlS -q fracxlS^ - xlS -q mf xlS frac pm sqrt+qfrac pm sqrt+q Eingesetzt in gx erhalten wir für ylS: al ylS gxlS pm sqrt+q + q Nun können wir die einzelnen q-Werte einsetzen und die Schnittpunkte ablesen. enumeratelabelroman*. item S_ S_- item S_+sqrt + sqrt S_-sqrt -sqrt item S item keinen Schnittpunkt enumerate abc Wir setzen wieder gleich und lösen auf: al fxlS &mustbe gxlS xlS^-xlS + mxlS uf -mxlS xlS^ -+mxlS + mf xlS frac+m pm sqrt+m^ - enumeratelabelroman*. item S item S_ S_ item S_- S_- item S- enumerate abc Wir setzen jeweils die Funktionen gleich lösen mit der Mitternachtsformel auf und bestimmen den Parameter so dass die Diskriminante Term unter der Wurzel verschwindet. enumeratelabelroman*. item al fxlS &mustbe gxlS xlS^ xlS + q uf -xlS-q xlS^ -xlS -q mf xlS frac pm sqrt+q Die Diskriminante verschwindet für q -frac. item al fxlS &mustbe gxlS xlS^ mxlS - uf -mxlS + xlS^ -mxlS + mf xlS fracm pm sqrtm^- Die Diskriminante verschwindet für m_pm . item alfxlS &mustbe gxlS xlS^ mxlS - m uf -mxlS + m xlS^ -mxlS +m mf xlS fracm pm sqrtm^ - m Die Diskriminante verschwindet für m_ und m_ . enumerate abc Das Vorgehen ist gleich wie bei der vorherigen Teilaufgabe da die Tangente per Definition genau einen Berührungspunkt mit der Parabel hat. enumeratelabelroman*. item al fxlS &mustbe gxlS mxlS^ + xlS + m mxlS uf -mxlS mxlS^ + -mxlS + m mf xlS frac--m pm sqrt-m^ -m^m frac--m pm sqrt-m^ - m + m m_ frac pm sqrt+- frac-mp Die Diskriminante verschwindet für m_ - und m_ frac. item al fxlS &mustbe gxlS qxlS^ + qxlS + xlS + q uf - xlS -q qxlS^ + q-xlS + -q mf xlS dots pm sqrtq-^ - q-q dots pm sqrtq^ - q + -q + q^ dots pm sqrtq^ - q + q_ frac pm sqrt- fracpm Die Diskriminante verschwindet für q_ frac und q_ . enumerate abc enumeratelabelroman*. item alfxlS &mustbe gxlS xlS^ + xlS + q uf -q xlS^ + xlS + -q mf xlS dots pm sqrt--q dots pm sqrtq+ Die Diskriminante verschwindet für q-. item al fxlS &mustbe gxlS -xlS^+xlS+ q uf -q -xlS^ + xlS + -q xlS dots pm sqrt+-q dots pm sqrt-q Die Diskriminante verschwindet für qfrac. item alfxlS &mustbe gxlS axlS^ + bxlS + c -q mf xlS dots pm sqrtb^ -ac-q b^ -ac + aq uf -b^ + ac -b^ +ac aq uf :a -fracb^a + c q enumerate abclist
Meta Information
Exercise:
abclist abc Berechne die Schnittpunkte von Bild und Original wenn der Graph von fx x^ nprvmulticols enumeratelabelroman*. item um den Vektor mqty & ^rm T verschoben wird item am Punkt gespiegelt wird. enumerate nprvmulticols abc Berechne die Schnittpunkte Graphen von fx frac x^ mit dem Graphen von gx x+q. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item q item q item q- item q- enumerate nprvmulticols abc In welchen Punkten schneidet der Graph von fx x^ -x + den Graphen von gx mx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item m item m item m- item m- enumerate nprvmulticols abc Bestimme den Wert des Parameters so dass der Graph von fx x^ und der Graph der angegebenen Funktion gx genau einen Punkt gemeinsam haben. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item gx x + q item gx mx- item gx mx- enumerate nprvmulticols abc Der Graph von gx soll eine Tangente des Graphen von fx sein. Bestimme den Parameter. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx mx^ + x + m gx mx item fx qx^ + qx + gx x + q enumerate nprvmulticols abc Für welchen Wert von q ist der Graph von gx q eine Tangente des Graphen von fx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx x^ + x + item fx -x^+x+ item fx ax^ + bx + c aneq enumerate nprvmulticols abclist
Solution:
NewDocumentCommandlSo IfNoValueTF# _rm S _rm S# abclist abc enumeratelabelroman*. item Wir bestimmen zunächst die Funktionsgleichung tilde fx der Bildfunktion: al tilde fx fx- + x-^ + . Diese setzen wir mit der Originalfunktion fx gleich und lösen nach der x-Koordinate des Schnittpunkts xlS auf: alfxlS &mustbe tilde fxlS xlS^ xlS^-xlS + uf -xlS^ + xlS xlS uf : xlS . Wir setzen den erhaltenen Wert fx ein um die y-Koordinate des Schnittpunkts ylS zu erhalten: alylS xlS^ .. Der Schnittpunkt ist damit S... item Bildfunktion: al tilde fx - f-x - -x^ - + x -x^ -x^ + x - Gleichsetzen und auflösen: alfxlS &mustbe tilde fxlS xlS^ -xlS^ + xlS- uf -xlS^ -xlS^ + xlS - mf xlS frac- pm sqrt-- mp sqrt ylS mp sqrt^ mp sqrt Die Schnittpunkte sind damit S_-sqrt-sqrt und S_ + sqrt+sqrt. enumerate abc Wir setzen die beiden Funktionsgleichungen gleich und lösen nach xlS auf: alfxlS &mustbe gxlS fracxlS^ xlS + q uf -xlS -q fracxlS^ - xlS -q mf xlS frac pm sqrt+qfrac pm sqrt+q Eingesetzt in gx erhalten wir für ylS: al ylS gxlS pm sqrt+q + q Nun können wir die einzelnen q-Werte einsetzen und die Schnittpunkte ablesen. enumeratelabelroman*. item S_ S_- item S_+sqrt + sqrt S_-sqrt -sqrt item S item keinen Schnittpunkt enumerate abc Wir setzen wieder gleich und lösen auf: al fxlS &mustbe gxlS xlS^-xlS + mxlS uf -mxlS xlS^ -+mxlS + mf xlS frac+m pm sqrt+m^ - enumeratelabelroman*. item S item S_ S_ item S_- S_- item S- enumerate abc Wir setzen jeweils die Funktionen gleich lösen mit der Mitternachtsformel auf und bestimmen den Parameter so dass die Diskriminante Term unter der Wurzel verschwindet. enumeratelabelroman*. item al fxlS &mustbe gxlS xlS^ xlS + q uf -xlS-q xlS^ -xlS -q mf xlS frac pm sqrt+q Die Diskriminante verschwindet für q -frac. item al fxlS &mustbe gxlS xlS^ mxlS - uf -mxlS + xlS^ -mxlS + mf xlS fracm pm sqrtm^- Die Diskriminante verschwindet für m_pm . item alfxlS &mustbe gxlS xlS^ mxlS - m uf -mxlS + m xlS^ -mxlS +m mf xlS fracm pm sqrtm^ - m Die Diskriminante verschwindet für m_ und m_ . enumerate abc Das Vorgehen ist gleich wie bei der vorherigen Teilaufgabe da die Tangente per Definition genau einen Berührungspunkt mit der Parabel hat. enumeratelabelroman*. item al fxlS &mustbe gxlS mxlS^ + xlS + m mxlS uf -mxlS mxlS^ + -mxlS + m mf xlS frac--m pm sqrt-m^ -m^m frac--m pm sqrt-m^ - m + m m_ frac pm sqrt+- frac-mp Die Diskriminante verschwindet für m_ - und m_ frac. item al fxlS &mustbe gxlS qxlS^ + qxlS + xlS + q uf - xlS -q qxlS^ + q-xlS + -q mf xlS dots pm sqrtq-^ - q-q dots pm sqrtq^ - q + -q + q^ dots pm sqrtq^ - q + q_ frac pm sqrt- fracpm Die Diskriminante verschwindet für q_ frac und q_ . enumerate abc enumeratelabelroman*. item alfxlS &mustbe gxlS xlS^ + xlS + q uf -q xlS^ + xlS + -q mf xlS dots pm sqrt--q dots pm sqrtq+ Die Diskriminante verschwindet für q-. item al fxlS &mustbe gxlS -xlS^+xlS+ q uf -q -xlS^ + xlS + -q xlS dots pm sqrt+-q dots pm sqrt-q Die Diskriminante verschwindet für qfrac. item alfxlS &mustbe gxlS axlS^ + bxlS + c -q mf xlS dots pm sqrtb^ -ac-q b^ -ac + aq uf -b^ + ac -b^ +ac aq uf :a -fracb^a + c q enumerate abclist
abclist abc Berechne die Schnittpunkte von Bild und Original wenn der Graph von fx x^ nprvmulticols enumeratelabelroman*. item um den Vektor mqty & ^rm T verschoben wird item am Punkt gespiegelt wird. enumerate nprvmulticols abc Berechne die Schnittpunkte Graphen von fx frac x^ mit dem Graphen von gx x+q. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item q item q item q- item q- enumerate nprvmulticols abc In welchen Punkten schneidet der Graph von fx x^ -x + den Graphen von gx mx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item m item m item m- item m- enumerate nprvmulticols abc Bestimme den Wert des Parameters so dass der Graph von fx x^ und der Graph der angegebenen Funktion gx genau einen Punkt gemeinsam haben. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item gx x + q item gx mx- item gx mx- enumerate nprvmulticols abc Der Graph von gx soll eine Tangente des Graphen von fx sein. Bestimme den Parameter. nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx mx^ + x + m gx mx item fx qx^ + qx + gx x + q enumerate nprvmulticols abc Für welchen Wert von q ist der Graph von gx q eine Tangente des Graphen von fx? nprvmulticols enumeratelabelroman*. item fx x^ + x + item fx -x^+x+ item fx ax^ + bx + c aneq enumerate nprvmulticols abclist
Solution:
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